每次做完二值分类模型（eg： Logistic Regression, Decision Tree, Neural Network etc.），我们经常会面对一连串的模型验证指标，最常用的有ROC&AUC、Gini、PS、K-S等等。那我们不禁会问：

1. 这个指标怎么定义？

2. 怎么实现指标计算？

3. 为什么用这个指标？

4. 怎么用它评价模型？

       事实上，如果不明白这些评估指标的背后的直觉，就很可能陷入一种机械的解释中，不敢多说一句，就怕哪里说错。在这里就通过这篇文章，针对上述4个问题，介绍一下ROC&AUC。

问题1： ROC&AUC的定义分别是什么？

      ROC曲线全称为受试者工作特征曲线 （receiver operating characteristic curve），它是根据一系列不同的二分类方式（分界值或决定阈），以真阳性率（敏感性）为纵坐标，假阳性率（1-特异性）为横坐标绘制的曲线。

AUC （Area Under Curve）被定义为ROC曲线下的面积。我们往往使用AUC值作为模型的评价标准是因为很多时候ROC曲线并不能清晰的说明哪个分类器的效果更好，而作为一个数值，对应AUC更大的分类器效果更好。

** 注意：ROC是一条曲线是一条曲线啊，并不是一个值啊！真正通过计量手段比较模型功效的是AUC！！**

问题2： AUC是如何计算得到的？

      既然我们已经了解到AUC其实就是ROC曲线下的面积，那我们首先要理解ROC曲线从何而来，这其中必定蕴含了ROC&AUC蕴含的价值。

       作为理解ROC曲线的铺垫，我们还要先了解一下混淆矩阵（Confusion Matrix）。显然，一个完美的二分类模型就是，如果一个客户实际上属于类别good，也预测成good（True Positive类），处于类别bad，也就预测成bad（True Negative类），也就是完全预测准确。但从实际模型情况来看，往往会有一些实际上是good的客户，经过我们的模型，被预测为bad（False Negative类），对一些bad的客户，却预测他为good（False Positive类）。事实上，我们需要知道所建的模型到底预测对了多少，预测错了多少，然而混淆矩阵就把所有这些信息，都归到这样一个表里。

_
_

        实际数据中，客户只有good/bad两种可能，模型预测结果同样也只有这两种可能，可能匹配可能不匹配。匹配的好说，Negative预测为Negative，或者 Positive预测为Positive，这就是True Negative（其中Negative是指预测成Negative）和True Positive（其中Positive是指预测成Positive）的情况。

       同样，犯错也只有两种情况。实际是Positive，预测成Negative ，这就是False Negative；实际是Negative，预测成Positive，这就是False Positive；

明白这些概念后，不难理解以下几组常用的评估指标：

（事实上ROC曲线只用到其中的3和4）

1. 准确率accuracy： 针对整个预测情况。预测正确的/总实例数 = (TP+TN)/(P+N)

2. 误分类率error rate： 针对整个情况。预测错误的/总实例数 = (FP+FN)/(P+N)

3. 召回率recall/敏感性sensitivity: 针对good的正确覆盖了。预测对的good实例/实际good的实例 = TP/P

4. 特异性specificity: 针对bad的预测正确率。预测对的bad实例/实际的bad实例数 = FP/N

5. 命中率precision: 针对good的预测正确率。预测对的good实例/预测的good实例数 = TP/(TP+FP)

6. Type I error: False Discovery Rate(FDR, false alarm) = 1- precision

7. Type II error: miss rate = 1- sensitivity

      理解了混淆矩阵后，ROC曲线就不难理解了。事实上，ROC曲线就是不同的阈值下，敏感性（Sensitivity）和1-特异性（Specificity）的关系曲线。其中ROC曲线的横轴为（1-特异性），即1-预测对的bad实例/实际的bad实例数；纵轴为敏感性，即预测对的good实例/实际good的实例，易知ROC曲线的横轴纵轴的值域均为[0,1]。

下面我们从ROC曲线横轴值从0到1取三个点进行展示，以计算对应的纵轴值：

1. 1-特异性=0

     1-特异性=0 意味着 预测对的bad实例/实际的bad实例数=1，也就是说所有bad都被预测为bad，如上图所示。此时，对应的纵轴值敏感性=TP/P=0.45。因此对应ROC曲线上的点（0,0.45）。

2. 0<1-特异性<1

      随着横轴值从0到1的增加，通过上图可以表达为分割线的左移，如下图。

      可以看到，随着分割线的左移，也就是特异性逐渐减小，敏感性则逐渐增加。此时1-特异性=0.2，对应的敏感性=0.85。因此对应ROC曲线上的点（0.2,0.85）。

3. 1-特异性—>1

   随着分界线的继续左移，达到样本分数最小值时，所有样本都被预测为good，此时1-特异性=0.98，对应的纵轴值敏感性=,1。对应ROC曲线上的点（0.98,1）。

      好了，每个点都能画了，那ROC曲线也就不在话下了，AUC的计算也就顺其自然的进行了。

      实际应用中，对于最常用的Logistic regression，SAS的PROC LOGISTIC可以轻松解决ROC图像绘制以及AUC计算的问题。
代码如下

proc logistic data=dataname plots(only)=roc;

model y=x1 x2 x3... xn;

run;

      运行程序即可得到ROC曲线以及相应AUC=0.8005。

问题3： AUC值和模型功效有何关系？

我们不妨先固定某一横轴值，也就是说固定了分割线相对bad样本的位置关系，根据敏感性的定义（敏感性=预测对的good实例/实际good的实例 ），不难发现在有相等横轴值的情况下，纵轴值（敏感度）越大，模型功效越好。

      下图中，对于相同的横轴值（固定坏样本分布和分割线），若模型的好样本结果的分布情况为Distribution2，其相应的纵轴值显然大于Distribution1的情况，也就是y2>y1。 同样，任意移动分割线（也就是对任意横轴值），都可以得到Distribution2的纵轴值大于等于Distribution1。那也很显然情况2的模型比情况1具备更强的区分能力。这是最简单的比较情况，如果两个模型并不是对于任意横轴值都存在一致的纵轴值大小区分，我们该怎么比较呢？

       这里我们再来回顾一下AUC是什么。AUC事实上是ROC曲线下的面积，事实上也是**敏感性在x属于[0,1]区间内的积分！**既然对于每个固定横轴值，都存在纵轴值越大模型功效越好这个说法，那么通过计量面积来比较模型的功效依旧成立，同时AUC还简化了指标的维度，将2维的ROC图转化为1维数值，简化的同时还提供了模型与模型之间比较的契机，这也就很容易理解我们为什么要使用AUC值来展示模型的区分能力了！

问题4： 如何使用AUC值评价模型？

      ROC曲线下的面积值（AUC)正常情况下在0.5和1之间。应用中通常使用以下标准评价模型功效。

|        AUC |               评价 |
|        0.9-1 |             高准确性 |
|      0.7-0.9 |         有一定准确性 |
|      0.5-0.7 |         有较低准确性 |
|        0-0.5 |       不符合真实情况 |

       事实上，当模型的ROC=1时，模型将所有好坏样本完全分离，也就是说低分区全是bad样本，高分区全是good样本，两组样本在得分上没有交集，这也被成为“完美模型”。当然，在实际建模中，“完美模型”显然是不存在的。

       当模型的ROC=0.5时，模型实际上相当于一个随机排序模型，也就是和说生成随机数评分没啥区别，因此无法对我们的模型使用场景提供支持。