知乎 Flame 的回答：

你觉得绕是因为逻辑本来就有问题，积分上限函数是不定积分的本质，而不是什么原函数。

定积分（也叫黎曼积分，Riemann Integral）为给定区间无限分割求和，求和符号 拉长变成表无限 ，

的微分 区别于有限分割求和的 表示无限分割。

构造从积分上限映射到定积分的函数 ，称为不定积分，

** Ⅰ. 由定积分定义，积分上限** 增加一 ，不定积分恰增加一 ，后者是前者的无穷小量（说下“无穷小量”这个将错就错的历史名词，它并不表示任何量的大小，而是说明一个量趋于零时，另一个量的变化趋势，故而高阶低阶不是大小不同而是变化速度不同）， 这直接说明不定积分之导数为被积函数 ，故不定积分可逆用求导法拼凑原函数 求得。

(你之前在计算不定积分时所用的变量代换，凑微分，分部积分，不都是逆用求导吗？)

这里我们指出求不定积分时的任意常数 实质是积分下限 未定。

** Ⅱ. 据定积分对区间的可加性（由定义和几何意义可以看出）即可将定积分表示为不定积分的两个值的差。**

注意到等式最右边的两项积分下限一致，因此任意常数 的选取不会影响定积分的计算。

到这儿就差不多了，但我还是建议继续往下看。

我们回过头来看， 是 在 上的总变化值， 是在 上每一个小变化值之和，二者相等是理所当然的。因此整个公式的核心就在于 Ⅰ中的 ，

也即 只要此式成立，公式就成立。

从积分看，它要求被积函数在极限情形下具有线性函数的性质（或者说，函数足够地光滑 ）；从微分看，你对此式应十分熟悉，它就是微分的表达式，而微分也是极限情形下对函数进行线性近似，现在你对** “微分与增量之差是 的高阶无穷小”的意义** 应有了更深的体会，传统教材中的导数一章中微分的那一节并不是没有意义的，整个积分学是以此为基础的。

(课本里不是管微分叫增量的“线性主部”吗？如果非主部的部分可以忽略，不就是近似当作线性函数来处理吗？)

所以说，微分法和积分法都是在极限情形下对函数的线性处理方法。

有了这个逻辑顺序后，才应该考虑如何拼凑的技巧性。而不是莫名其妙地告诉你把逆用求导叫做不定积分，再给你一个莫名奇妙的符号 表示这个运算，然后花大量篇幅讨论技巧性完毕后讲定积分，结果技巧变本质，本质倒成了“拐弯抹角”的方法。

以上论述有没有缺陷呢？

有，** Ⅰ中定义的不定积分 并不一定每一点都是可导的， ** 并不是一定存在的，容易看出“ 连续时，必是其原函数”。若 不可导便不能称其为 的原函数，也就不再是通行教材中的不定积分（原函数 + 任意常数 C）。这就是为什么 即使定积分可积，但原函数却不一定存在。

然而出于**应用公式计算定积分的目的，个别点的连续性并不会影响定积分作为和式极限的存在。**只要采用分段求和的办法，每个区间上的原函数仍是存在的。

所以，牛顿莱布尼兹公式适用于的函数是那些足够光滑，以至于在极限条件下可作线性函数来处理的函数。这个“光滑”的要求很特殊，虽然很常见却只是所有函数的冰山一角。

如果研究更普遍的情形，就可能会存在这样的情况，极限情形下的线性近似 对于某些函数不再成立，比如著名的 Dirichlet 函数。这是当然，因为这线性近似并非函数的一般性质。对于这样的函数该怎么办呢？*Lebesgue *笑了。

知乎 Kevin Wayne 的回答：

我们用分点

将被积区间 等分成 个小区间，每个小区间长度为 。相应的原函数 的总改变量 可分为 个部分改变量的和。即：

根据微分中值定理，在每个小区间 内，一定存在一点 ，使得

。

从而

。

当 时，根据定积分的定义，我们有

。

上面的公式被认为是微积分中最重要的公式。它的存在，**避免了利用定义求定积分时可能会遇到的复杂性与技巧性，使得定积分的计算过程大大简化，同时也把定积分（被定义为积分和的极限）与不定积分（被定义为原函数）两个看起来毫不相干的概念联系起来。**这个公式就是大名鼎鼎的「微积分基本定理」。

值得注意的是，微积分基本定理也不是万能的。利用微积分基本定理求定积分，需要求出被积函数的不定积分。但是，求原函数并不都是很容易的，有时甚至原函数根本无法用初等函数表示。况且从工程、技术、科研、经济、金融等实际应用中遇到的大量被积函数，常常是用表格或曲线给出的，这时写不出被积函数的表达式，当然也就无法用式子写出它的原函数。这时，我们通常借助数值计算法求出定积分的近似值。在计算机广泛应用的今天，数值计算在复杂的大数据面前显得更加重要。